قوانین جبر بولی

A+0 = A  :  متغیر A درصورت OR شدن با 0، همیشه برابر با خودش است.
A.1 = A  :  متغیر A درصورت AND شدن با 1، همیشه برابر با خودش است.

قانون همانی (Idempotent Law)

یک متغیر، درصورت AND شدن یا OR شدن با خودش، همیشه برابر با خود متغیر است.

A+A = A  :  متغیر A درصورت OR شدن با خودش، همیشه برابر با خودش است.
  A.A = A:  متغیر A درصورت AND شدن با خودش، همیشه برابر با خودش است.

قانون متمم (Complement Law)

متغیر A، درصورت AND شدن با مکمل خود برابر با “0” یا OR شدن مکمل خود برابر با “1” است.

1=A+Ā  :  متغیر A درصورت OR شدن با مکمل خود همیشه برابر با 1 است.
0=A.Ā  :  متغیر A درصورت AND شدن با مکمل خود همیشه برابر با 0 است.

قانون جابجایی (Commutative Law)

ترتیب عملکرد دو عبارت منحصربفرد، اهمیت ندارد.

A.B=B.A :  ترتیب در دو متغیر که باهم AND شده‌اند؛ تفاوتی ایجاد نمی‌کند.
A+B=B+A   :  ترتیب در دو متغیر که باهم AND شده‌اند؛ تفاوتی ایجاد نمی‌کند.

قانون نفی مضاعف (Double Negation Law)

 یک عبارت که دو بار معکوس شود؛ برابر با عبارت اصلی و اولیه است.
A ̿=A  :  دوبار مکمل‌ نمودن یک متغیر، همیشه برابر با خود متغیر است.

قضیه دمورگان (de Morgan’s Theorem)
 

دو قانون یا قضیه‌ی “دمورگان” وجود دارد:
دو عبارت جداگانه که با یکدیگر NOR شوند؛ برابر با ابتدا معکوس‌شدن(متمم) و سپس AND شدن آنها با یکدیگر است. برای مثال:

دو عبارت جداگانه که با یکدیگر NAND شوند؛ برابر با ابتدا معکوس‌شدن(متمم) و سپس OR شدن آنها با یکدیگر است. برای مثال:

سایر قوانین بولی که جزئیات آن در بالا نیامده است؛ شامل:

مفروضات بولی:

با وجود آنکه جزو قوانین بولی نیستند؛ اما مجموعه‌ای از قوانین ریاضیاتی می‌باشند؛ که می‌توانند برای ساده‌سازی عبارات بولی، استفاده شوند.

0.0=0  :  عدد صفر، هنگام AND شدن با خود، همیشه برابر با 0 است.
1.1=1  :  عدد یک، هنگام AND شدن با خود، همیشه برابر با 1 است.
1.0=0  :  عدد یک، هنگام AND شدن با صفر، همیشه برابر با 0 است.
0+0=0  :  عدد صفر، هنگام OR شدن با خود، همیشه برابر با 0 است.
1+1=1  :  عدد یک، هنگام OR شدن با خود، همیشه برابر با 1 است.
1+0=1  :  عدد یک، هنگام OR شدن با صفر، همیشه برابر با 1 است.
۰ ̅=۱  :  معکوس(متمم) عدد صفر، همیشه برابر با یک است.
۱ ̅=۰  :  معکوس(متمم) عدد یک، همیشه برابر با صفر است.

قانون توزیع‌پذیری (Distributive Law)

بر اساس این قانون، ضرب و فاکتورگرفتن مجاز است.

A(B+C)=A.B+A.C  :  (قانون توزیع‌پذیری OR)
A+(B.C)=(A+B).(A+C)  :  (قانون توزیع‌پذیری AND)

قانون جذبی (Absorptive Law)

این قانون، با جذب عبارات مشابه به هم، یک عبارت پیچیده را به یک عبارت ساده‌تر، کاهش می‌دهد.

A+(A.B)=(A.1)+(A.B)=A(1+B)=A  :  (قانون جذبی OR)
A(A+B)=(A+1).(A+B)=A+(0.B)=A  :  (قانون جذبی AND)

قانون شرکت‌پذیری (Associative Law)

این قانون، حذف براکت‌ها از عبارت و ترکیب مجدد متغیرها را مجاز می‌داند.

A+(B+C)=(A+B)+C=A+B+C  :  (قانون شرکت‌پذیری OR)
A.(B.C)=(A.B)C=A.B.C  :  (قانون شرکت‌پذیری AND)

توابع جبر بولی

با استفاده از اطلاعات بالا، گیت‌های ساده و دو ورودی AND ، OR و NOT را می‌توان با 16 تابع ممکن همانطور که در جدول زیر آمده است؛ نشان داد.

مثال شماره‌ی یک قوانین جبر بولی

با استفاده از قوانین بالا، عبارت روبرو را ساده کنید: (A+B)(A+C)

درنتیجه عبارت (A+B)(A+C) را می‌توان با قانون توزیع‌پذیری به عبارت A+(B.C) ساده کرد.

منبع

منبع: ردرونیک