راکتانس القایی

میزان مقاومت جریان عبوری از یک سلف AC را، راکتانس القایی (Inductive Reactance) می‌نامند که به‌ صورت خطی به فرکانس منبع تغذیه وابسته است.

سلف‌ها و چوک‌ها، در واقع سیم‌پیچ یا حلقه‌های سیمی می‌باشند؛ که یا در اطراف لوله‌ی توخالی (هسته هوا) و یا در اطراف برخی از مواد فرومغناطیسی (هسته آهن) پیچیده می‌شوند تا مقدار خاصیت القایی آن‌ها، افزایش یابد که در این صورت اندوکتانس نامیده می‌شوند.

سلف‌ها، انرژی خود را در قالب یک میدان مغناطیسی ذخیره می‌کنند؛ که با اعمال ولتاژ به پایانه (ترمینال) های یک سلف ایجاد می‌شود. رشد جریان، در زمانی که از سلف عبور می‌کند، در همان لحظه رخ نمی‌دهد؛ بلکه توسط خودالقاها یا مقدار emf معکوس (نیروی محرکه الکتریکی معکوس شده) تعیین می‌شود. درنتیجه، برای یک سیم‌پیچ القایی، این ولتاژ emf  معکوس (V_L)، متناسب با سرعت تغییر جریان جاری در آن است.

این جریان، تا زمانی افزایش می‌یابد؛ که به حداکثر حالت مانای خود، که در حدود 5 ثابت زمانی است، برسد؛ یعنی تا زمانی که این emf معکوس القاشده توسط خود سلف، تا صفر کاهش یابد. در این مرحله، جریان حالت مانا در یک سیم‌پیچ جاری است و دیگر هیچ emf معکوسی، برای مخالفت با جریان جاری القا نمی‌گردد و بنابراین سیم‌پیچ، بیشتر به صورت یک اتصال کوتاه، عمل نموده و اجازه می‌دهد که حداکثر جریان، از آن عبور کند.

با این‌حال، در یک مدار جریان متناوب، که حاوی اندوکتانس AC می‌باشد؛ جریان جاری در یک سلف، بسیار متفاوت از ولتاژ DC حالت مانا، رفتار می‌کند. اکنون، در یک مدار AC، میزان مخالفت جریان جاری در سیم‌ پیچ‌ های کویل، نه‌تنها به اندوکتانس کویل، بلکه به فرکانس شکل‌ موج ولتاژ اعمال‌شده نیز بستگی دارد؛ درحالی‌که از مقادیر مثبت به منفی در تغییر است.

میزان مخالفت واقعی جریان جاری در یک کویل مدار AC؛ توسط مقاومت AC کویل تعیین می‌گردد؛ که با یک عدد مختلط نشان داده می‌شود. اما برای تشخیص مقدار مقاومت DC، از مقدار مقاومت AC ،که عنوان امپدانسنیز شناخته می‌شود؛ از عبارت راکتانس استفاده می‌کنند.

همانند مقاومت، راکتانس نیز برحسب اهم محاسبه می‌گردد اما از نماد “X” برای آن استفاده می‌گردد؛ تا از مقدار مقاومت خالص “R” قابل تمایز باشد و از آن‌جایی، که عنصر مورد بررسی سلف است؛ راکتانس یک سلف، راکتانس القایی ( X_L ) نامیده می‌شود که بر حسب اهم اندازه‌گیری می‌گردد. مقدار آن را می‌توان توسط فرمول زیر به دست آورد.

راکتانس القایی

که در آن:

X_L      …   راکتانس القایی برحسب اهم (Ω) است.

π (pi) …   ثابت عددی برابر با ۳.۱۴۲ است.

ƒ    …     فرکانس برحسب هرتز (Hz) است.

L    …     اندوکتانس برحسب هنری (H) است.

ما هم‌چنین، می‌توانیم راکتانس القایی را بر حسب رادیان، در جایی که ω برابر با ۲πf است؛ تعریف کنیم.

 

شکل‌ موج سینوسی برای اندوکتانس AC

این اثر را می‌توان، با یک نمودار فازوری در یک مدار القایی خالص، نشان داد؛ که ولتاژ °۹۰ از جریان، “پیشرو”تر است و این درحالی است که ولتاژ به عنوان مرجع در نظر گرفته‌شود. ما هم‌چنین، می‌توانیم بگوییم که جریان به اندازه ربع  یک سیکل یا °۹۰، “عقب‌مانده” از ولتاژ است که در نمودار زیر نشان داده شده‌است.

 

نمودار فازوری برای اندوکتانس AC

بنابراین، برای یک سلف بدون تلفات خالص، ، ° ۹۰ پیشرو تر از  خواهد بود یا می‌توان گفت، که ، °۹۰، “عقب‌مانده”‌تر از  است.

راه‌های متفاوت بسیاری، برای به‌خاطرسپردن رابطه فاز میان ولتاژ و جریان جاری، در یک مدار القایی خالص وجود دارد؛ اما یکی از روش‌های بسیار ساده و آسان برای آن، استفاده از اصطلاح حفظی ELI است (مانند نام دختران (Ellie)تلفظ می‌شود).  ELI مخفف عبارت Electromotive force first (ابتدا نیروی محرکه الکتریکی) در یک اندوکتانس AC است؛ که یعنی L (سلف) قبل از جریان (I) می آید. به عبارت‌دیگر، ولتاژ قبل از جریان در سلف است؛ که سبب ترتیب E،L و I شده که برابر با ELI است. ولتاژ در هر زاویه‌ی فازی که شروع می‌شود؛ این عبارت، همیشه برای یک مدار سلفی خالص صادق است.

 

اثر فرکانس بر راکتانس القایی

زمانی‌که، یک منبع 50 هرتز، به یک اندوکتانس AC مناسب متصل گردد؛ جریان °90 تاخیر خواهد داشت؛ که پیش از این بیان شد و مقدار پیک جریان بر حسب آمپر را، قبل از آن‌که ولتاژ قطبیت را در آخر نیم‌سیکل معکوس کند؛ بدست می آورد ؛یعنی جریان به مقدار حداکثر خود در” T ثانیه” می‌رسد.

اما اگر اکنون، یک منبع 100 هرتز از همان ولتاژ پیک را به کویل اعمال کنیم؛ جریان هم‌چنان °90  تاخیر خواهد داشت. اما حداکثر مقدار آن کمتر از 50 هرتز خواهد بود؛ زیرا زمان موردنیاز برای رسیدن به حداکثر مقدار خود، به دلیل افزایش فرکانس، کاهش یافته‌است و فقط ” 1/2 T  ثانیه” دارد تا به حداکثر مقدار خود برسد. هم‌چنین، نرخ تغییر شار درون کویل نیز، به دلیل افزایش فرکانس، افزایش یافته است.

از معادله فوق برای راکتانس القایی، می‌توان دید؛ که اگر فرکانس یا اندوکتانس افزایش یابند؛ مقدار کلی راکتانس القایی‌کویل نیز افزایش می‌یابد. زمانی‌که، فرکانس افزایش می‌یابد و به بی‌نهایت میل ‌می‌کند؛ راکتانس سلف‌ها و درنتیجه، امپدانس آن‌ها به سمت بی‌نهایت میل کرده که مانند یک مدار باز عمل می‌کند.

به همین‌ترتیب، با نزدیک‌شدن فرکانس به صفر یا DC، راکتانس سلف‌ها نیز تا به صفر کاهش می‌یابند و مانند یک اتصال کوتاه عمل می‌کنند. این بدین معنی است که راکتانس القایی، “مستقیما با فرکانس متناسب است” و در فرکانس‌های کم، مقدار کم و در فرکانس‌های بالا، مقدار بیشتری دارد؛ که در زیر آورده شده است.

 

راکتانس القایی در مقابل فرکانس

می‌توان، اثر فرکانس‌های بسیار کم و بسیار زیاد را بر راکتانس یک اندوکتانس AC خالص به شرح زیر ارائه داد:

در مدار AC، حاوی اندوکتانس خالص، فرمول زیر اعمال می‌گردد

برای یافتن چگونگی رسیدن به این معادله، باید گفت؛ emf خودالقا در سلف توسط قانون فارادی تعیین می‌شود، که “اثر خودالقایی” را ایجاد می‌کند. هنگامی‌که، یک جریان از یک سیم‌ پیچ القایی عبور می‌کند؛ نرخ تغییر جریان AC، باعث ایجاد یک emf در همان کویل می‌شود که جریان متغیر را خنثی می‌کند. این اثر بر روی کویل، در جایی‌که، میدان مغناطیسی که خود که در اثر جریان جاری در آن ایجاد شده‌است؛ با هرگونه تغییر جریان مخالفت می‌نماید، “خودالقایی” نامیده می‌شود.

حداکثر مقدار ولتاژ این emf خودالقایی، با حداکثر نرخ تغییر جریان با این مقدار ولتاژ در کویل مطابقت دارد که به صورت زیر آورده شده است:

در جایی‌که، d/dt نرخ تغییر جریان را در زمان، نشان می‌دهد.

جریان سینوسی جاری در یک کویل القایی (L) که سبب ایجاد شار مغناطیسی اطراف آن می‌شود، به صورت زیر ارائه می‌شود:

درنتیجه، معادله بالا را به صورت زیر، می‌توان دوباره نوشت:

مشتق گرفتن از جریان سینوسی به ما می‌دهد:

هویت مثلثاتی  بیان می‌کند؛ که یک شکل‌ موج کسینوسی به طور موثر، یک شکل‌ موج سینوسی را °۹۰+ شیفت داده است. درنتیجه، می‌توان معادله‌ی فوق را به صورت موج سینوسی دوباره نوشت؛ تا ولتاژ در یک اندوکتانس AC به صورت زیر تعریف شود:

در این‌جا، V_MAX = ωLI_MAX = √۲V_RMS است؛ که حداکثر دامنه ولتاژ می‌باشد و اختلاف فاز یا زاویه فاز میان شکل‌ موج‌های جریان و ولتاژ، برابر با θ = + ۹۰^o است. این جریانی است که با زاویه °۹۰ از ولتاژ در یک سلف خالص، عقب‌تر مانده است.

 

حوزه‌ی فازور

در حوزه فازور، ولتاژ کویل به صورت زیر آورده می‌شود:

وفرم قطبی را می‌توان نوشت:  X_L∠۹۰^o در جایی‌که:

AC در مدار سری R+L

در بالا مشاهده شد؛ که جریان جاری در یک کویل القایی خالص، از ولتاژ با زاویه °۹۰ عقب می‌ماند و منظور از یک سیم‌پیچ القایی خالص، کویلی است که هیچ مقاومت اهمی نداشته و بنابراین تلفات I^۲R ندارد. اما در دنیای واقعی، امکان داشتن یک اندوکتانس AC خالص، وجود ندارد.

تمام کویل‌های الکتریکی، رله‌ها، سلونوئیدها و ترانسفورماتورها، هر اندازه هم که در پیچ‌های کویل مورد استفاده قرار بگیرند، مقاومت مشخصی خواهند داشت. این امر، به این دلیل است که سیم مسی مقاومت دارد. در نتیجه، می‌توانیم در نظر بگیریم، که کویل القایی ما، اگر دارای مقاومت باشد، یک مقاومت (R) سری با اندوکتانس (L) خواهد بود که می‌توان آن را “اندوکتانس ناخالص” نامید.

اگر کویل، دارای مقداری مقاومت “داخلی” باشد؛ ما باید امپدانس کلی کویل را، به صورت مقاومت سری با اندوکتانس در یک مدار AC، که حاوی هم اندوکتانس (L) و هم مقاومت (R) است؛ نشان دهیم. V در کل این ترکیب، فازور حاصل دو مولفه ولتاژ  V_R و V_L  است.

این بدین معناست، که جریان عبوری از کویل، هم‌چنان از ولتاژ عقب می‌ماند؛ اما بسته به مقادیر  و  V_R  و V_L در واقع مجموع فازور، مقدار آن از °90 کمتر خواهد بود. زاویه‌ی جدید بین شکل‌موج‌های ولتاژ و جریان، اختلاف فازی را در اختیار ما قرار می‌دهد، که ما با زاویه فاز مدار که با نماد یونانی phi(φ) نشان داده می‌شود؛ می‌شناسیم.

مدار زیر را در نظر بگیرید؛ در جایی‌که، مقاومت القایی غیرخالص (R) به صورت سری به اندوکتانس خالص (L) متصل شده‌است.

 

مدار سری مقاومتی- اندوکتانسی

در مدار سری RLبالا، می‌توان دید که جریان بین مقاومت و اندوکتانس مشترک است؛ در حالی‌که ولتاژ از دو مولفه V_R  و V_L ساخته می‌شود. ولتاژ حاصل از این دو جز را می‌توان به صورت ریاضیاتی یا با ترسیم نمودار یافت. برای ایجاد نمودار برداری باید یک مولفه‌ی مشترک یا مرجع یافت‌شود و در یک مدار AC سری، جریان، منبع مرجع می‌باشد؛ زیرا این جریان هم در مقاومت و هم در اندوکتانس جاری است. نمودارهای برداری منفرد برای یک مقاومت خالص و یک اندوکتانس خالص به صورت زیر است:

 

نمودارهای برداری برای دو عنصر خالص

از بالا و از مقاله های قبلی در مورد مقاومت AC، دریافتیم که ولتاژ و جریان در یک مدار مقاومتی، هر دو هم‌فاز بوده و از این رو از نظر مقیاس‌گذاری، بردار ولتاژ V_R ،بر بردار جریان I_R سوار می‌شود. هم‌چنین از بالا متوجه شدیم که جریان در یک مدار اندوکتانسی AC (خالص) از ولتاژ عقب می‌ماند؛ از این‌رو، بردار V_L با ° 90 اختلاف زاویه با جریان، که در یک مقیاس و راستا با V_R است، رسم شده‌است.

 

نمودار برداری ولتاژ حاصل

 

از نمودار بالا می‌توانیم ببینیم؛ که خط OB، مرجع جریان افقی بوده و خط OA، ولتاژ روی مولفه‌ی مقاومتی است که هم‌فاز با جریان است. خط OC، ولتاژ القایی را نشان می‌دهد؛ که °90 با جریان اختلاف زاویه دارد و بنابراین به خوبی دیده می‌شود؛ که جریان، از ولتاژ القایی خالص، °90 عقب می‌ماند. خط OD، ولتاژ تغذیه حاصل را به ما میدهد، درنتیجه:

V  برابر است با مقدار r.m.s ولتاژ اعمال‌شده

I برابر است با مقدار r.m.s جریان سری شده

V_R برابر است با افت ولتاژ I.R دو سر مقاومت که با جریان، هم‌فاز است.

V_Lبرابر است با افت ولتاژ I.X_L دو سر اندوکتانس که از جریان° ۹۰ پیشروی می‌کند.

از آن‌جایی که، جریان، در یک اندوکتانس خالص دقیقا، °90 از ولتاژ عقب‌تر می‌ماند؛ نمودار فازوری حاصل از یک ولتاژ منفرد، به دو مولفه V_R و  V_L تقسیم می‌شود؛ که نشان‌دهنده‌ی یک مثلث زاویه‌دار قائمه است که در بالا با نماد OAD نشان داده شده‌است. سپس می‌توانیم از قضیه فیثاغورث استفاده نماییم تا مقدار ولتاژ حاصل از مدار مقاومت/ سلف (RL) را به صورت ریاضی پیدا کنیم.

از آنجایی‌که V_R = I.R و V_L = I.X_L است؛ ولتاژ اعمال‌شده، مجموع این دو بردار به شرح زیر خواهد بود: